Question

f(x)=∫（1到x²）ln(1+t)/ tdt 则f'(2)=

高数定积分

Answer 1

证明：
f(x)=∫(1→x)lnt/(1+t²)dt （作代换s=1/t，则t=1/s，dt=d(1/s)=-ds/s²）
=∫(1→1/x) ln(1/s)/(1+1/s²)(-ds)/s²
=∫(1→1/x) lns/(1+s²)ds
而f(1/x)=∫(1→1/x)lnt/(1+t²)dt=∫(1→1/x) lns/(1+s²)ds
故
f(x)=f(1/x)成立。

Answer 2

设sin√t/t的一个原函数为G(t)
则[G(x)]'=sin√x/x
f(x)=∫[x²：1](sin√t/t)dt
=G(t)|[x²：1]
=G(1)-G(x²)
f'(x)=[G(1)]'-[G(x²)]'·(x²)'
=0-(sin√x²/x²)·2x
=-2sinx/x