Question

求大神指点一道高数题，定积分的证明？

这两问都不会啊啊啊求指点

Answer 1

（1）对任意正整数n，令Fn(x)=∫(1/n,x)f(t)dt-∫(x,1)1/f(t)dt
因为f(x)在[0,1]上连续，所以根据微积分基本定理，Fn(x)在[0,1]上连续可导
因为f(x)在[0,1]上恒>0，所以
Fn'(x)=f(x)+1/f(x)>0，即F(x)严格单调递增
Fn(1/n)=-∫(1/n,1)1/f(t)dt<=0
Fn(1)=∫(1/n,1)f(t)dt>=0
根据连续函数零点定理，存在唯一的xn∈[1/n,1]⊆[0,1]，使得Fn(xn)=0
即∫(1/n,xn)f(t)dt=∫(xn,1)1/f(t)dt
第（2）问让我再想想

追问

老师这个题第二问还可以帮忙看看吗？T_T谢谢老师。