Question

高数二重积分问题，来大佬帮忙解释一下。

如图，这个用轮换对称性是怎么做的。答案没有写是怎么换过去的啊，而且原式里的xy没有了呢，怎么回事。

Answer 1

这里是两个不同的题。
图11-3表示积分域表示的是 注题 4 ， 利用的是积分域的对称性，不是轮换对称性。
将积分域 D 划分为 D1, D2, D3, D4 后，D1, D2 对称于 y 轴，D3, D4 对称于 x 轴。
因积分函数中 xy 既是 x 的奇函数， 又是 y 的奇函数， 故积分为 0.
积分函数中 cosxsiny 是 y 的奇函数， 故在 D3, D4 上积分为 0.
cosxsiny 是 x 的偶函数， 故在 D1, D2 上积分 是 在 D2 上积分的 2 倍， 故选 B。
“第二”以后是另一例题，利用轮换对称性，即重积分与积分变量无关， 交换x，y，......