Question

计算曲线积分∮(ydx−xdy)/(x²+4y²） 其中L为x²＋4y²＝1逆时针曲线段

Answer 1

1、当原点不在曲线内时，p=-y/(x²+4y²)，q=x/(x²+4y²)，p、q在l内具有一阶连续偏导数
计算得：∂p/∂y=∂q/∂x，由格林公式易得封闭曲线上积分为0，本题结果=0
2、当原点在曲线内时，此时p、q在(0,0)无定义，所以上面的方法不能用。
作曲线l1：x²+4y²=ε²，逆时针，ε充分小，使得l1与l不相交；
用
l1-
表示l1的反向曲线（注意负号是上标）
则p、q在(l+l1-)所围区域内具有一阶连续偏导数，可以使用格林公式
∫(l+l1-)（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
=∫∫
(∂q/∂x-∂p/∂y)dxdy
=0
因此得：∫l（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)=∫l1（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
下面计算l1上积分即可
∫l1（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
注意在l1上x²+4y²=ε²
=(1/ε²)∫l1
(xdy-ydx)
格林公式
=(1/ε²)∫∫
2
dxdy
=(2/ε²)∫∫
1
dxdy
被积函数为1，积分结果为区域面积，椭圆面积为：πab=πε²/2，其中a=ε，b=ε/2
=(2/ε²)*(πε²/2)
=π

Answer 2

补曲线L1:x²+4y²＝ε²，0＜ε＜1，取逆时针，原式＝L-L1的曲线积分+L1的曲线积分，前项用格林公式得0，后项为L1的曲线积分(ydx-xdy)/ε²
格林公式＝L1所围区域-2dσ×1/ε²＝-2×π×ε²/ε²＝-2π
最终结果即-2π