Question

用数学归纳法求证： 1／1²+1／2²+……+1／n²＜2

Answer 1

值为
π^2/6
是由欧拉首先计算出来的。现在用复变函数的留数计算能求出，公式较复杂，这里就不写了。
欧拉的算法：
考虑sin(x)/x的级数展开
sin(x)/x＝1+x^2/3!+x^3/4!+……+x^n/(n+1)!+……
（1）
另外sin(x)/x＝0的解为±π，±2π，……±nπ，……
于是sin(x)/x＝[1-(x^2)/(π^2)][1-(x^2)/(2^2*π^2)][1-(x^2)/(3^2*π^2)]……[1-(x^2)/(n^2*π^2)]……
此式右边x^2项乘积相加后为1+1/(2π)^2+1/(3π)^2+1/(4π)^2+……1/(nπ)^2+……
令其等于（1）式的x^2项系数，就有
1+1/(2π)^2+1/(3π)^2+1/(4π)^2+……1/(nπ)^2+……＝1/3！＝1/6
就得到
1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...＝π^2/6