Question

求e^t/(1+t)的不定积分

Answer 1

原式=∫[t^(-2)]/[t^(-2)+t^2]dt=∫[t^(-2)+1-1]/[t^2+t^(-2)]dt
（下面的凑微分法比较巧妙，请楼主注意观察，而且下面要多次用到！）
=∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))-∫t^2/(1+t^4)dt………①
（显然左边为常用公式。）
而∫t^2/(1+t^4)dt
=(1/2)∫(t^2+1+t^2-1)/(1+t^4)dt
=(1/2)∫(1+t^(-2))/(t^2+t^(-2))dt+(1/2)∫(t^2-1)/(t^2+t^(-2))dt
=(1/2)∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))+(1/2)∫1/[(t+t^(-1))^2-2]d(t+t^(-1))………②
将②式代回①式中，可得
原式=(1/2)∫1/[(t-t^(-1))^2+2]d(t-t^(-1))-(1/2)∫1/[(t+t^(-1))^2-2]d(t+t^(-1))
=[(√2)/4]arctan[(t-t^(-1))/√2]-[(√2)/4]ln|(t+t^(-1)-√2)/(t+t^(-1)+√2)|+c
（这是在深夜打的，可能有错漏，望楼主见谅。）