Question

k为何值时kx^2-(2k+3)+6=0的两个根都是整数

Answer 1

k=0时x=2符合题意

k≠0时设两根为x1,x2

x1+x2=(2k+3)/k=2+3/k……(1)

x1*x2=6/k……(2)

(2)-(1)*2

x1*x2-2(x1+x2)=-4

(x1-2)(x2-2)=0

x1=2或x2=2

有对称性不妨设x1=2

将x1=2代入原方程得

4k-(4k+6)+6=0
恒成立

即原方程必有一根为2

此时由(1)得

x1+x2=2+3/k

x1=2

x2=3/k

所以3/k为整数
k为3的约数

k=±1,±3

经检验均符合题意

综上k=0,±1,±3.

Answer 2

用公式法
（（2K+3）加减（根号（2k+3）^2-24k））/2k
化简得（（2k+3)加减|2k-3|）/2k
分情况讨论
K>1.5时可得
两集合
2
6/2k
此时只需满足6/2k为整数（k>1.5）即可
得3
k=1.5时
只有一解
是整数k<1.5时
两集合
2
6/2k
此时仍须满足
6/2k
为整数
得
k=1
-1
-3证明完毕

Answer 3

kx^2-(2k+3)+6=0的两个根x1,x2,

x1+x2=2+3/k,

x1*x2=6/k

x1,x2都是整数

则k=-1,1,-3,3

又(2k+3)^2-24k>=0恒成立。

依次带入检验知：

k=1,x1=2,x2=3

k=3,x1=1,x2=2

所以k=1,3.