Question

已知f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)(a>1)(1)求值域（2）证明f(x)是r上的增函数

Answer 1

(1)因为a^x>0,
所以a^x+1>1,
所以f(x)的定义域为R；
因为f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1),
因为a^x+1>1,
所以0<2/(a^x+1)<2,
所以-2<-2/(a^x+1)<0,
所以-1<f(x)<1.
所以f(x)的定义域为R，值域为(-1,1)；
(2)设x1>x2,
所以f(x1)-f(x2)
=[1-2/(a^x1+1)]-[1-2/(a^x2+1)]
=2(a^x1-a^x2)/[(a^x1+1)(a^x2+1)],
当a>1时，因为x1>x2,
所以a^x1-a^x2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以此时f(x)在R上是递增的；
当0<a<1时，因为x1>x2,
所以a^x1-a^x2<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以此时f(x)在R上是递减的.
综上所述，当a>1时，f(x)在R上是递增的；
当0<a<1时，f(x)在R上是递减的.