Question

在各项均为正数的数列{an}中,数列的前N项和满足sn=1/2(an+1/an)

Answer 1

sn=1/2(an+1/an)
s(n-1)=sn-an=1/2(1/an-an)
sn+s(n-1)=1/an
sn-s(n-1)=an
sn^2-s(n-1)^2=1
s1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1
{sn^2}是首项为s1^2=1,公差为1的等差数列
sn^2=n
sn=√n
an=sn-s(n-1)=√n-√(n-1)

直接求通项式了。

Answer 2

解：
（1）S1=1/2(a1+1/a1)
又S1=a1
故1/2(a1+1/a1)=a1
即a1^2=1
因为a1>0
故a1=1
S2=1/2(a2+1/a2)
又S2=a1+a2=1+a2
故1/2(a2+1/a2)=1+a2
(a2>0)
解得：a2=√2-1
同理：a3=√3-√2
（2）从（1）中可看出：数列{an}的通项公式可能是：an=√n-√(n-1)
假设an=√n-√(n-1)成立
证明：
①
当n=1时，an=1=√1-√(1-1)
假设成立
②
当n=2时，an=√2-1=√2-√(2-1)
假设成立
③
假设n=i时，假设成立，即
ai=√i
-√(i-1)
Si=(√1-√0)+(√2-√1)+(√3-√2)+…+(√i-√i-1)=√i
那么，当n=i+1时
由sn=1/2(an+1/an)得
Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)
ai+1=Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-√i
解得：ai+1=√(i+1)-√i
由①②③可证明假设an=√n-√(n-1)成立
an通项公式为：an=√n
-√(n-1)