Question

已知：函数f(x)=ax+b/x+c(a.b.c是常数)是奇函数，且满足f(1)=5/2，f(2)=17/4

Answer 1

函数f(x)是奇函数，f(x)=0，所以
c=0，a=2，b=1/2，

f(x)=2x+1/2x
，设X1，X2在（0，1/2）区间内，且x1＞x2
,
f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)-(x1-x2)/2x1x2=(x1-x2)(2-1/2x1x2) (x1-x2)＞0，
因为2-1/2x1x2中，当x1、x2取1/2时有最大值
2-1/2x1/2x1/2-2=0
但x1,x2＜1/2
所以f(x1)-f(x2)＜0
所以函数f(x)在区间（0，1/2）上的单调性为减函数。

Answer 2

因为函数是奇函数，所以f（0）=0，即c=0；又有f(1)=5/2，f(2)=17/4，得a+b=5/2；2a+b/2=17/4

解得a=2，b=1/2。

f（x）=2x+1/2x，所以设0<x1<x2<1/2,则f（x1）-f（x2）=2（x1-x2）+（x2-x1）/2x1x2

=（x2-x1）（1-4x1x2）/2x1x2。

因为x1<x2,x1x2<1/4,所以x2-x1>0,1-4x1x2>0,x1x2>0,

所以f（x1）-f（x2）>0,所以f(x)在区间（0，1/2）上是单调递减的

Answer 3

由f(-x)=-f(x)得c=0
将f(1)=5/2,f（2）=17/4带入原式得a=2,b=1/2
f(x)=2x+1/(2x)
取x1、x2满足0<x1<x2<1/2
f(x2)-f(x1)=2(x2-x1)+(1/x1-1/x2)/2=(x2-x1)(2-1/(2x1x2))=((x2-x1)/(2x1x2))*(4x1x2-1)
<0故单减。

Answer 4

由函数是奇函数得到c=0，再利用题中的2个等式求出a、b的值．
解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴c=0∵
{f(1)=5/2
f(2)=17/4
∴
{a+b=5/2
2a+b/2=17/4∴
{a=2
b=1/2