Question

已知∠BCD=α∠BAD=β,CB=CD. （1）如图一，若α=β=90°，求证：AB+AD=根号

Answer 1

（1）从C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N
因为∠CMA=∠CNA=∠BAD=90，所以四边形CMAN是矩形
∠MCN=90，即∠NCD+∠DCM=90
∠MCB+∠DCM=∠BCD=90
所以∠MCB=∠NCD
又有∠BMC=∠DNC=90，BC=DC
所以△BCM≌△DCN，CM=CN，BM=DN
因此矩形CMAN一组邻边相等，是正方形
AB+AD=AM+BM+AD=AM+DN+AD=AM+AN
AM+AN为正方形边长的2倍，AC为正方形对角线，是边长的√2倍
所以AM+AN=√2AC，即AB+AD=√2AC
（2）从C作CM⊥AC，交AB于M；AB、CD交点记作O
因为∠DAO=∠BCO=90，所以∠D+∠DOA=∠B+∠BOC
因为∠DOA=∠BOC，所以∠D=∠B
∠ACD+∠DCM=∠MCB+∠DCM=90，所以∠ACD=∠MCB
又有DC=BC，所以△ACD≌△MCB
AD=MB，AC=MC
所以AB-AD=AB-MB=AM
且△ACM为等腰直角三角形，AM=√2AC
所以AB-AD=√2AC
（3）从C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N
四边形AMCN中，∠AMC=∠ANC=90，所以∠BAD+∠MCN=180
∠BCD=∠MCN=120
因此∠BCD-∠MCD=∠MCN-∠MCD，即∠BCM=∠DCN
又有∠BMC=∠DNC=90，BC=DC
所以△BMC≌△DNC，CM=CN，BM=DN
因此C到∠MCN两边距离相等，在∠MCN角平分线上，所以∠MAC=∠NAC=30
AB+AD=AM+BM+AD=AM+DN+AD=AM+AN
简单可得RT△AMC≌RT△ANC，AM=AN
RT△AMC中，∠MAC=30，所以AC=2MC，AM=√3MC
因此AM=√3AC/2，所以AM+AN=√3AC
即AB+AD=√3AC
（4）以C为顶点，以AC为一边作∠ACM=120，CM交AB于M；AB、CD交点记作O，作OH⊥AB于H
因为∠BAD=∠BCD=120，所以∠D+∠DOA=∠B+∠BOC=60
因为∠DOA=∠BOC，所以∠D=∠B
∠ACM=∠BCD=120，所以∠ACM-∠DCM=∠BCD-∠DCM，即∠ACD=∠MCB
又有DC=BC，所以△ACD≌△MCB
AC=MC，AD=MB
所以AB-AD=AB-MB=AM
△ACM为等腰三角形，OH为AM边上的高，所以H为AM中点
∠CAM=∠CMA=30
RT△ACH中，AC=2CH，AH=√3CH
所以AH=√3AC/2
AM=2AH=√3AC，因此AB-AD=√3AC

Answer 2

已知过c作ce⊥ca交ab延长线于e，∴∠bce+
∠acb=90°又∵∠dca+∠acb=90°
∴∠dca=∠bce
因为∠d+∠cba=180°
∠cbe+∠cba=180°
∴∠d=∠cbe
在△cda和△cbe中
｛∠dca=∠bce
cd=cb
∠d=∠cbe｝∴△cda全等于△cbe（asa）∴ad=be
ca=ce
∴ae=√2ac
∴ab+be=√2ac
所以ab+ad=√2ac