Question

计算二重积分∫∫D e^(x+y)dδ,其中D={(x,y)||x|+|y|=<1}，答案是e-e^(-1)。求详细过程和方法。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

这里分成四份可以，但是不能乘以4
因为
e^(x+y)的图像其实关于x或者y或者原点都不是对称的，所以在这四份的积分并不同
可以算出每一分再相加
也可以分成两份x轴把函数粉为两份
∫
dx
∫
e^(x+y)
dy
x范围[0,1]
y范围是[x-1,1-x]
x范围[-1,0]
y范围是[-x-1,1+x]
如果是e^(x^2+y^2)这类的有对称性的函数，可以乘以4

Answer 3

积分区域是x+y=1，x+y=－1，x－y=1，x－y＝－1围成，做变量替换x+y＝u，x－y＝v，则
x＝(u+v)/2，y＝(v－u)/2，于是原积分化为
0.5积分（从－1到1）du积分（从－1到1）e^u
dv
=0.5积分（从－1到1）2e^udu
＝e^u|上限1下限－1
＝e－e^(－1)。