Question

m*n矩阵A，m大于n，矩阵A秩小于等于n，为什么

Answer 1

A
共有
n
个列向量，n
个列向量的极大线性无关组的个数最多为
n
，
也就是
A
的秩最多为
n
，因此
秩(A)
≤
n
。
（其实还有
秩(A)
≤
m
，只不过
m
>
n，因此
秩(A)
≤
n
更精确）
m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为
min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
扩展资料：
矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB
O|
|O
En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB
A|
|0
En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵，有
|0
A
|
|-B
En|
所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n
matrix。
特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0
->
r(A)+r(B)<=n

Answer 2

A
共有
n
个列向量，n
个列向量的极大线性无关组的个数最多为
n
，
也就是
A
的秩最多为
n
，因此
秩(A)
≤
n
。
（其实还有
秩(A)
≤
m
，只不过
m
>
n，因此
秩(A)
≤
n
更精确）