关于两个重要极限的题目
3个回答
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这问题是这样的:e^x
/
(1+1/x)^(x^2)
=(e
/
(1+1/x)^x)^x
由于(1+1/x)^x趋于e,所以底数趋于1,指数x趋于无穷大,这是1的无穷大的情形,极限不是1,是未定式,,所以你不能直接用特殊极限,要借用其他方式解决。
设y=(e
/
(1+1/x)^x)^x
lny=x(1-ln(1+1/x)^x)
=x-x^2*ln(1+1/x)
设1/x=t,t趋于0,lim(x-x^2*ln(1+1/x)=lim(1/t-ln(1+t)/t^2))
=lim(t-ln(1+t))/t^2)
(0/0,用罗比达法则)
=lim(1-1/(1+t))/2t=limt/(2t(1+t))=1/2
所以limy=e^(1/2)
/
(1+1/x)^(x^2)
=(e
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(1+1/x)^x)^x
由于(1+1/x)^x趋于e,所以底数趋于1,指数x趋于无穷大,这是1的无穷大的情形,极限不是1,是未定式,,所以你不能直接用特殊极限,要借用其他方式解决。
设y=(e
/
(1+1/x)^x)^x
lny=x(1-ln(1+1/x)^x)
=x-x^2*ln(1+1/x)
设1/x=t,t趋于0,lim(x-x^2*ln(1+1/x)=lim(1/t-ln(1+t)/t^2))
=lim(t-ln(1+t))/t^2)
(0/0,用罗比达法则)
=lim(1-1/(1+t))/2t=limt/(2t(1+t))=1/2
所以limy=e^(1/2)
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这是个较为重要的极限求解,也比较基本,就是应用limx趋近于0,sinx~x的等价代换
1.limx~0时,应用上式有sin2x~2x,sin5x~5x,上下同时约去x,得到答案
2/5
2当lim
n趋近于无穷大时,x/(2^n)趋近于0,有sin[x/(2^n)]~x/(2^n),有原式答案为
x,
高数这方面的问题以后可以找我,希望能采纳,谢谢!
1.limx~0时,应用上式有sin2x~2x,sin5x~5x,上下同时约去x,得到答案
2/5
2当lim
n趋近于无穷大时,x/(2^n)趋近于0,有sin[x/(2^n)]~x/(2^n),有原式答案为
x,
高数这方面的问题以后可以找我,希望能采纳,谢谢!
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(1+1/x)*(x*2)
你再看一看,怎么能用两个重要极限呢,是x→∞
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