Question

如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是各边中点,对角线AC⊥BD于点O.求证:四边形EFGH是矩形.

Answer 1

证明：
根据中位线定义（连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线）可知
eh、fg分别是△adc和△abc的中位线
由中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）可得
eh=fg=ac/2

eh∥fg∥ac
同理可知
ef=gh=bd/2

ef∥gh∥bd
∴四边形efgh为平行四边形
又∵ac⊥bd
∴ef⊥ac
∴∠ape=∠aod=90°（ac与ef交点为p，同位角相等）
∵eh∥ac
∴∠feh=∠ape=90°（内错角相等）
∴平行四边形efgh为矩形（矩形的判定定义）

Answer 2

证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=0.5AC，GH=0.5AC，
∴EF=GH，同理EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．