Question

已知不等式mx²-2x+m-2＜0.若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

令f(x)=mx^2-2x+m-2
(1)
f(x)是一次函数，即m=0
-2x-2<0
x>-1
不满足条件，舍去
(2)
f(x)是二次函数，即m不等于0
根据题意f(x)<0
对所有实数x恒成立
也就是说：f(x)开口向下，且与x轴没有交点
所以：m<0
，△<0
△=4-4m(m-2)<0
m>1+√2
或
m<1-√2
所以
m<1-√2
综上说述：m<1-√2
希望帮助到你，望采纳，谢谢！

Answer 2

不等式mx²-2x+m-2＜0.若对于所有的实数x不等式恒成立
则抛物线开口向下，且顶点<0
抛物线开口向下：m<0
顶点x=-(-2)/(2m)=1/m
y最大=m*(1/m)²-2/m+m-2<0
1/m-2/m+m-2<0
-1/m+m-2<0
通分(m²-2m-1)/m<0
即(m²-2m-1)m<0
由于抛物线开口向下m<0
所以m²-2m-1>0
(m-1)²-2>0
则m>±√2+1
考虑到m<0
则m的范围是(1-√2,0)

Answer 3

不等式mx²-2x+m-2＜0.若对于所有的实数x不等式恒成立
若m=0则2x-2<0
不成立
若m≠0则抛物线开口应向下即m<0
且顶点<0
顶点x=-(-2)/(2m)=1/m
x=1/m时m*(1/m)²-2/m+m-2<0
1/m-2/m+m-2<0
1-2+m^2-2m>0
m^2-2m-1>0
解方程m^2-2m-1=0得m=1-√2
或
m=1+√2即m<1-√2
或
m>1+√2（舍）