Question

求解：一道定积分题

Answer 1

为了书写方便，省去定积分的上下限（上限为x，下限为0），涉及的极限都是x->0的情况
lim
(cosx
b)(∫
sint/tdt)/(e^x-a)
由于lim
(∫
sint/tdt)=0，为了保证极限存在,必须满足lim
(e^x-a)=0，即e^0-a=0，得到a=1
注意到lim
(∫
sint/tdt)/x=lim
(sinx/x)/1=lim
sinx/x=1（第一步使用了洛必达法则）
所以∫
sint/tdt和x是等价无穷小
lim
(cosx
b)(∫
sint/tdt)/(e^x-a)
=lim
(cosx
b)(∫
sint/tdt)/(e^x-1)
=lim
((cosx
b)x)/x
（
∫
sint/tdt和x是等价无穷小，e^x-1和x是等价无穷小
）
=lim
cosx
b
=1
b
所以1
b=5，得到b=4
综上所述，a=1,b=4