Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，短轴的一个端点为M(0,1)

Answer 1

解：
∵短轴右端点为a，m(1，0)为线段oa的中点
∴a（2，0）
∴b=2
又∵e=c/a=√2/2
∴a=√2c
又∵a²=b²+c²
∴2c²=4+c²
∴c=2
∴a=2√2
∴椭圆：x²/4+y²/8=1
令n（n，0），如果直线pq无斜率，则由椭圆对称性可得∠pnm=∠qnm，于是只考虑pq有斜率的情况，令pq斜率为k，m（1，0）在pq上，于是
pq：y=k（x-1）
代入椭圆方程得
x²/4+k²（x-1）²/8=1
整理得
（2+k²）x²-2k²x+k²-8=0
于是
x=[k²±√（6k²+16）]/（2+k²）
y=k（x-1）=[-2k±k√（6k²+16）]/（2+k²）
这其实就是p、q的坐标，令pn、qn的斜率分别为kp、kq，合记做k，由于直线nm就是x轴，故∠pnm=∠qnm只需kp=-kq，p、q坐标已求出，n（n，0）已令，于是
k=（y-0）/（x-n）=y/（x-n）
={[-2k±k√（6k²+16）]/（2+k²）}/{[k²±√（6k²+16）]/（2+k²）-n}
=[-2k±k√（6k²+16）]/[k²±√（6k²+16）-2n-nk²]
【上式分子分母同乘[-2k∓k√（6k²+16）]进行分子有理化，并记a=√（6k²+16）】
=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³∓2ka+4nk+2nk³∓k³a-6k³-16k±2nka±nk³a）
由kp=-kq得
（为了更容易看明白，我再多写点——
不妨kp=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³-2ka+4nk+2nk³-k³a-6k³-16k+2nka+nk³a）则
kq=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³+2ka+4nk+2nk³+k³a-6k³-16k-2nka-nk³a）
-kq=[4k²-k²（6k²+16）]/（2k³-2ka-4nk-2nk³-k³a+6k³+16k+2nka+nk³a）
对比kp=-kq得
-2k³+4nk+2nk³-6k³-16k=2k³-4nk-2nk³+6k³+16k
于是
2k³-4nk-2nk³+6k³+16k=0
）
2k³-4nk-2nk³+6k³+16k=0
2nk³+4nk=8k³+16k
上式恒成立要同时满足
2n=8
4n=16
恰好存在n=4同时满足以上二式
因此得n（4，0）
综合上述，在x轴上存在定点n（4，0），使∠pnm=∠qnm。

Answer 2

(1)
b
=
1
e²
=
1/2
=
c²/a²
=
(a²
-
b²)/a²
=
(a²
-
1)/a²
a²
=
2
椭圆:
x²/2
+
y²
=
1
x²
+
2(kx
-
1/3)²
-
2
=
0
9(2k²
+
1)x²
-
12kx
-
16
=
0
x₁
+
x₂
=
4k/[3(2k²
+
1)],
x₁x₂
=
-16/[9(2k²
+
1)]
|AB|²
=
(x₁
-
x₂)²
+
(y₁
-
y₂)²
=
(x₁
-
x₂)²
+
(kx₁
-
1/3
-
ky₂
+
1/3)²
=
(1
+
k²)(x₁
-
x₂)²
=
(1
+
k²)[(x₁
+
x₂)²
-
4x₁x₂]
=
16(k²
+
1)(9k²
+
4)/[9(2k²
+
1)]²
=
16*26/81
23k⁴
-
13k²
-
10
=
(23k²
+
10)(k²
-
1)
=
0
k²
=
1,
k
=
±1
(舍去k²
=
-10/23)
(2)
A(x₁,
y₁),
B(x₂,
y₂)
AM斜率p
=
(y₁
-
1)/(x₁
-
0)
=
(y₁
-
1)/x₁
BM斜率q
=
(y₂
-
1)/(x₂
-
0)
=
(y₂
-
1)/x₂
pq
=
[(y₁
-
1)/x₁][(y₂
-
1)/x₂]
=
[y₁y₂
-
(y₁
+
y₂)
+
1]/(x₁x₂)
要证明以AB为直径的圆恒过点M,
只须证明AM⊥BM,
pq
=
[y₁y₂
-
(y₁
+
y₂)
+
1]/(x₁x₂)
=
-1
分母x₁x₂
=
-16/[9(2k²
+
1)],
只须证明y₁y₂
-
(y₁
+
y₂)
+
1
=
16/[9(2k²
+
1)]
y₁y₂
-
(y₁
+
y₂)
+
1
=
(kx₁
-
1/3)(kx₂
-
1/3)
-
(kx₁
-
1/3
+
kx₂
-
1/3)
+
1
=
k²x₁x₂
-
(k/3)(x₁
+
x₂)
+
1/9
-
k(x₁
+
x₂)
+
2/3
+
1
=
k²x₁x₂
-
(4k/3)(x₁
+
x₂)
+
16/9
=
-16k²/[9(2k²
+
1)]
-
(4k/3)*4k/[3(2k²
+
1)]
+
16/9
=
[-16k²
-
16k²
+
16(2k²
+
1)]/[9(2k²
+
1)]
=
16/[9(2k²
+
1)]