Question

概率论与数理统计 X^2分布相关?

设(X1,X2···,Xn)是取自正态总体N(0,1)的样本,X- 和 S^2 分别是样本均值和样本方差，则当a= ，b= 时，aX- + bS^2 服从 X^2 分布 且自由度为____，D(S^2) =__?

Answer 1

分享一种解法。由题设条件，样本均值(X-)~N(0,1/n)。∴(X-)/√(1/n)~N(0,1)。【∵X~N(0,1)，则Y=X²~X²(1)】∴√n(X-)~X²(1)。

分布又，(n-1)S²/δ²~X(n-1)。∴(n-1)S²~X²(n-1)。而，X²分布具有累加性质，∴当a=√n，b=n-1时，a(X-)+bS²~X²(1)+X²(n-1)=X²(n)，即自由度为n。
又，E(S²)=δ²，D(S²)=2(δ²)²/(n-1)，∴D(S²)=2/(n-1)。
供参考。

Answer 2

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