空间向量基本定理
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简单分析一下，详情如图所示
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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该问题对空间向量的基本定理的表述不够准确，建议修改如下：
已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C，则点P位于平面ABC内的充要条件是：存在x.y.z∈R，满足x+y+z=1
使OP=xOA+yOB+zOC。
证明：（充分性）
∵x+y+z=1
∴
z=1-x-y
又∵OP=xOA+yOB+zOC
∴
OP
=xOA+yOB+（1-x-y）OC
OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC
OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）
∴
CP=xCA+yCB
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴
根据平面向量的基本定理可知，点P位于平面ABC内
∴
充分性成立
（必要性）
∵点P位于平面ABC内
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴
根据平面向量的基本定理可知，存在实数x，y使得
CP=xCA+yCB
∴
OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）
OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC
OP
=xOA+yOB+（1-x-y）OC
令z=1-x-y
则x+y+z=1
且
OP=xOA+yOB+zOC
即，存在实数x、y、z满足x+y+z=1，使得OP=xOA+yOB+zOC
∴
必要性成立
已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C，则点P位于平面ABC内的充要条件是：存在x.y.z∈R，满足x+y+z=1
使OP=xOA+yOB+zOC。
证明：（充分性）
∵x+y+z=1
∴
z=1-x-y
又∵OP=xOA+yOB+zOC
∴
OP
=xOA+yOB+（1-x-y）OC
OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC
OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）
∴
CP=xCA+yCB
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴
根据平面向量的基本定理可知，点P位于平面ABC内
∴
充分性成立
（必要性）
∵点P位于平面ABC内
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴
根据平面向量的基本定理可知，存在实数x，y使得
CP=xCA+yCB
∴
OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）
OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC
OP
=xOA+yOB+（1-x-y）OC
令z=1-x-y
则x+y+z=1
且
OP=xOA+yOB+zOC
即，存在实数x、y、z满足x+y+z=1，使得OP=xOA+yOB+zOC
∴
必要性成立
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