Question

证明方程x^3+x^2+x+1=0只有一个实根（罗尔定理）

Answer 1

设f(x)=x^3-3x+1
则，f(0)=1＞0
f(1)=
-1＜0
根据零点定理，
f(x)在（0，1）内至少有一个零点。
下面证明唯一性，用反证法：
假设f(x)在（0，1）内至少有两个零点a＜b，
因为f(a)=f(b)=0
f(x)在[a，b]上满足罗尔定理的三个条件，
根据罗尔定理，存在ξ∈(a，b)
使得：f
'(ξ)=0
f
'(ξ)=3ξ^2-3=3(ξ^2-1)＜0
所以，f
'(ξ)=0不成立，矛盾。
所以假设f(x)在（0，1）内至少有两个零点错误。
于是，f(x)在（0，1）内只有一个零点。
即方程在（0，1）内只有一个实根，

Answer 2

设f(x)=x^3+x^2+x+1,则
f'(x)=3x^2+2x+1=3(x+1/3)^2+2/3,
当x为实数是恒有
f'(x)>0,
所以f(x)当x为实数时为单调递增函数，所以f(x)=0最多有一个实根，另外f(-1)=0，f(x)=0只有一个实根

Answer 3

x^3+x^2+x+1=x²(x+1)+(x+1)=(x+1)(x²+1)=0
在x为实数为情况下，有
x²+1>0
x+1=0
x=-1
不用罗尔定理就可以证明原命题了