Question

高一数学任意三角函数值sin(cosA)×cos(sinA)＜0

Answer 1

先只考虑区间[0,2π],
因为对于任意的A值，都有sinA∈[-1,1],cosA∈[-1,1]
把sinA,cosA看作内部的变量，sin(cosA),cos(sinA)看作因变量
因为cosA∈[-1,1]，sinA∈[-1,1].
而1<π/3
即[-1,1]包含于区间[-π/3,π/3]
所以知
sin(-π/3)<sin(cosA)<sinπ/3
-√3/2<sin(cosA)<√3/2
同理知
cos(π/3)<cos(sinA)≤cos(0)
1/2<cos(sinA)≤1
这个不等式中的cos(sinA)是恒>0的，只需要考虑sin(cosA)在什么时候>0即可。
设cosA=t∈[-1,1]
解sint>0
得t∈(2kπ,2kπ+π)
k=±0,±1,...
再解三角不等式
2kπ<cosA<2kπ+π
,k=±0,±1,...
只有当k=0时才可能成立。
所以有
0<cosA<π
右边的恒成立，只要解cosA>0即可
它的解为A∈(2kπ-π/2,2kπ+π/2)
,k=±0,±1,...
所以这个A的取值范围是
A∈(2kπ-π/2,2kπ+π/2)
,k=±0,±1,...
【注意是开区间()】