Question

求极限 lim(x趋向于0) (cosx)^(1/x^2)

Answer 1

因为sinx/x
只是取x趋向于0时的极限值为1，而指数的极限是∞。极限1的∞次方是不定式。
lim
（sinx/x）^(1/1-cosx)
=e^
lim
(1/1-cosx)·ln(sinx/x)
=e^
lim
(
1/(x²/2)
)·ln(1+
sinx/x
-1)【等价代换：1-cosx～x²/2】
=e^
lim
(
2/x²
)·(sinx/x
-
1)【等价代换：u→0时ln(1+u)～u】
=e^
2lim
(
(sinx
-
x)
/
x³
)
=e^
2lim
(
(cosx
-
1)
/
(3x²)
)【洛比达法则】
=e^
2lim
(
(-x²/2)
/
(3x²)
)【等价代换：1-cosx～x²/2】
=e^(-1/3)