Question

展开成x的幂级数

函数展开为x的幂级数
f(x)=d((e^x-1)/x)/dx 怎么展开成幂级数,具体过程是怎么样的?

Answer 1

按泰勒级数展开 e^x=1+x+x^2/2+...+(x^n)/(n!) （n从0到无穷大）
∴e^x-1=x+x^2/2+x^3/6+...+(x^n)/(n!) （n从0到无穷大）
∴(e^x-1)/x=1+x/2+x^2/6+..+[x^(n-1)]/(n!) （n从1到无穷大）
对其求导有 f(x)=1/2+1/3x+...+(n-1)/(n!)x^(n-2) （n从2到无穷大）
即为幂级数 ∑ (n-1)/(n!)x^(n-2) （n从2到无穷大）