Question

若函数f(n)=sinnπ/6,求f(1)+f(2)+f(3)+……+f(102)的值（要详细过程）

Answer 1

首先f(x)的周期为：12.。因为f(n+12)=sin(n+12)π/6=sin(nπ/6+2π)=sinnπ=f(n)
其次：f(n)=f(-n)=-f(12-n)，f(n)+f(n-12)=0
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0
而102=8×12+6
所以f(1)+f(2)+f(3)+……+f(102)
=0+f(97)+f(98)+f(99)+f(100)+f(101)+f(102)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)
=sinπ/6+sin2π/6+sin3π/6+sin4π/6+sin5π/6+sin6π/6
=1/2+1/√3+1+1/√3+1/2+0=2+√3
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(102)的值为2+√3.

Answer 2

t=2π/(π/6)=12
f（1）+f(2)+f(3)+…＋f(12)
=1/2+√3/2+1+√3/2+1/2+0-1/2-√3/2-1-√3/2-1/2-0
=0
从第一项起，每连续12项和为0
102/12=8……6
f（1）+f(2)+f(3)+……+f(102)
＝8×0＋f(97)+f(98)+……＋f(102)
=f(1)+f(2)+……+f(6)
=1/2+√3/2+1+√3/2+1/2+0
=2+√3