求函数f(x)=sin2x+sinx+cosx的最大值
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f(x)=sin2x+sinx+cosx
=2sinxcosx+sinx+cosx
=(1+2sinxcosx)+sinx+cosx-1
=(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)-1
=t²+t-1
令t=sinx+cosx
=y(t)
则f(x)的最大值即为抛物线y(t)=t²+t-1的最大值
因t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
∴t的取值范围为t∈[-√2,√2]
而抛物线y=t²+t-1=(t+1/2)²-3/4，对称轴为t=-1/2，开口向上
∴在t∈[-√2,√2]上，y(t)在t=-1/2处取得最小值，在t=√2处取得最大值
∴f(x)的最大值为y(√2)=2+√2-1=1+√2
=2sinxcosx+sinx+cosx
=(1+2sinxcosx)+sinx+cosx-1
=(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)-1
=t²+t-1
令t=sinx+cosx
=y(t)
则f(x)的最大值即为抛物线y(t)=t²+t-1的最大值
因t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
∴t的取值范围为t∈[-√2,√2]
而抛物线y=t²+t-1=(t+1/2)²-3/4，对称轴为t=-1/2，开口向上
∴在t∈[-√2,√2]上，y(t)在t=-1/2处取得最小值，在t=√2处取得最大值
∴f(x)的最大值为y(√2)=2+√2-1=1+√2
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