Question

1/(x^2+a^2)^2 的不定积分 怎么推导？

Answer 1

1/(x^2+a^2)^2 的不定积分推导过程如下：

代入x=atanu

dx=asec²udu

(x²+a²)²=(a²+a²tan²u)²=(a²sec²u)²=a⁴sec⁴u

即(x²+a²)²=a⁴/cos⁴u

cos⁴u=a⁴/(x²+a²)²→cosu=a/√(x²+a²)

sinu=x/√(x²+a²)

∴∫dx/(a²+x²)²

=∫asec²u/(a⁴sec⁴u) du

=(1/a³)∫cos²u du

=(1/2a³)∫(1+cos2u) du

=(1/2a³)(u+1/2*sin2u)+C

=(1/2a³)(u+sinu*cosu)+C

=(1/2a³)[arctan(x/a)+x/√(x²+a²)*a/√(x²+a²)]+C

=(1/2a³)[arctan(x/a)+ax/(x²+a²)]+C

所以最后1/(x^2+a^2)^2 的不定积分是(1/2a)[arctan(x/a)+ax/(x+a)]+C。

扩展资料：

1、常用几种积分公式：

(1）∫e^xdx=e^x+c

(2）∫0dx=c

(3）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

(4）∫1/xdx=ln|x|+c

(5）∫sinxdx=-cosx+c

(6）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

2、一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)在区间[a,b]上单调，那么f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，那么f(x)在[a,b]上可积。

Answer 2

可以使用分部积分法

详情如图所示

Answer 3

左边=1/2a^2[2a^2/分母]
分子做变化由2a^2=（a^2+u^2）+（a^2-u^2)
所以=1/2a^2*积分【1/（a^2+u^2）+（a^2-u^2)/（a^2+u^2）^2】
后者即为u/（a^2+u^2）/的导数