Question

已知数列{an}(n∈N)中,a1=1,an+1=an/2an+1,则an为

Answer 1

这题主要是一种换元的思想，具体如下：
由已知a(n+1)=an/(2an+1)
<=>a(n+1)*(2an+1)=an
<=>2a(n+1)*an+a(n+1)=an
<=>an-a(n+1)=2a(n+1)*an
<=>[an-a(n+1)]/[a(n+1)*an]=2
<=>1/a(n+1)-1/an=2
令bn=1/an
则有b(n+1)-bn=2
且有b1=1/a1=1/1=1
故，数列{bn}是以1为首项，公比为2的等差数列，其通项公式为：
bn=b1+(n-1)*d=1+2(n-1)=2n-1
故，an=1/bn=1/(2n-1)
中间将1/an换元成bn，从而得出等差数列是关键，楼主日后可能还会碰到类似状况，要注意将式子凑配成能够看待成等差或等比数列的形式，那样就可以解出通项公式了！
以后熟练了的话，就不再需要另设bn，只需将{1/an}看成一个整体，作为等差数列即可，本质一样！