Question

已知abc为正实数，a+b+c=1 求证a²+b²+c²≥1/3

Answer 1

第一种
直接：
3（a²+b²+c²）=（a²+b²+c²+a²+b²+c²+a²+b²+c²)
=(a²+b²+c²+(a²+b²)+(a²+c²）+（b²+c²））
≥（a²+b²+c²+2ab+2bc+2bc)=(a+b+c)²=1
所以a²+b²+c²≥1/3
第二种
可以用柯西不等式
（1²+1²+1²）*（a²+b²+c²)≥（1*a+1*b+1*c)²
化简可得a²+b²+c²≥1/3
第三种：
可以构造
构造函数：f（X）=(a²+b²+c²)X²+2(a+b+c)X+3
所以f（X）=(a²X²+2aX+1)+(b²X²+2bX+1)+(c²X²+2cX+1)=
(ax+1)²+(bx+1)²+(cx+1)²≥0
故知：f(X)在X轴上方
所以△≤0
即（2(a+b+c)）²-4*(a²+b²+c²)*3≤0
得a²+b²+c²≥1/3