Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F

Answer 1

这是一道很有意思的题，根据矩形的性质及
相似三角形
的性质解答即可
答案：
1.五分之十二（12/5）。
2.PE+PF的值不变，是个定值。
3.矩形是特殊的
平行四边形
解的过程：设AP=X，PD=4-X，因为∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC，所以△AEP∽△ADC；
故
PE/X=3/5
（1）．
同理可得△DFP∽△DAB，
故PF/4-X=3/5
（2）．
故（1）+（2）得
PE+PF/3=4/5，
得PE+PF=12/5
．

Answer 2

解:设AP=x，PD=4-x，由勾股定理，得AC=BD=32+42=5，
∵∠PAE=∠CAD，∠AEP=∠ADC=90°，
∴Rt△AEP∽Rt△ADC;
∴APAC=PEDC，
即x5=PE3---(1).
同理可得Rt△DFP∽Rt△DAB，
∴4-x5=PF3---(2).
故(1)+(2)得45=PE+PF3，
∴PE+PF=125.
另解:
∵四边形ABCD为矩形，
∴△OAD为等腰三角形，
∴PE+PF等于△OAD腰OA上的高，即Rt△ADC斜边上的高，
∴PE+PF=3×45=125.