Question

一道数学问题？

Answer 1

AB不是切线，题目可能有错误。

追问

是cb

我写错了

追答

可能是这样的:线段AB通过抛物线焦点，CA，CB是抛物线的切线，求证，C在准线上。只要求得C的横坐标是-p/2即可。设方程y²=2px
焦点(p/2,0)，直线AB方程为
y=k(x-p/2)
代入

求出A，B坐标，写出切线方程，x=-p/2代入，两个切线方程的y相同，即可证明。

根据抛物线的光学特性，从焦点发出的光线经过抛物线反射后，是平行于轴线的光线(图中AM.BN)，角FAM.FBN的平分线，是A.B处抛物线的法线(切线的垂线)，因为AM.BN平行，所以两条法线的交角APB是直角。CAPB是矩形。

PC关于AB的中点对称。

可以用几何方法证明。

(图不准确)

延长MA，BC交于S，做准线l，x=-p/2，AS与准线交于T.
CA平分角SAF，△SAB等腰，AB=AS，AF=AT，BF=ST。

做延长NB交准线于U(图中未标出)，根据抛物线定义，BF=BU，所以，BU=ST，因此准线与BS交于BS中点。而三角形ABS等腰，BS中点就是C.所以C在准线上。

以上方法是证明中的重合法。比较简单。