Question

设数列a n 的前n项的和为S n ， a 1 = 3 2 ， S n =2 a n+1 -3 ．（1）求a 2 ，a 3

设数列a n 的前n项的和为S n ， a 1 = 3 2 ， S n =2 a n+1 -3 ． （1）求a 2 ，a 3 ； （2）求数列a n 的通项公式； （3）设 b n =(2lo g 3 2 a n +1)? a n ，求数列b n 的前n项的和T n ．

Answer 1

解（1）∵
a
1
=
3
2
，
S
n
=2
a
n+1
-3
∴S
1
=2a
2
-3
∴
a
2
=
a
1
+3
2
=
9
4
（1分）
同理S
2
=2a
3
-3
∴
a
3
=
a
1
+
a
2
+3
2
=
27
8
．（2分）
（2）当n≥2时，a
n
=S
n
-S
n-1
=2a
n+1
-3-（2a
n
-3）
即
a
n+1
=
3
2
a
n
．（4分）
由（1）显然
a
2
=
3
2
a
1
（5分）
∴a
n
是以
a
1
=
3
2
为首项
3
2
为公比的等比数列
∴
a
n
=(
3
2
)
n
（6分）
（3）由（2）知
b
n
=(2lo
g
3
2
a
n
+1)?
a
n
=[2lo
g
3
2
(
3
2
)
n
+1]?(
3
2
)
n
=(2n+1)?(
3
2
)
n
..（7分）
T
n
=3?
(
3
2
)
1
+5?
(
3
2
)
2
+7?
(
3
2
)
3
++(2n-1)?
(
3
2
)
n-1
+(2n+1)?
(
3
2
)
n
①
3
2
T
n
=3?
(
3
2
)
2
+5?
(
3
2
)
3
+7?
(
3
2
)
4
++(2n-1)?
(
3
2
)
n
+(2n+1)?
(
3
2
)
n+1
②（8分）
①-②得
-
1
2
T
n
=
9
2
+2?
(
3
2
)
2
+2?
(
3
2
)
3
++2?
(
3
2
)
n-1
-(2n+1)?
(
3
2
)
n+1
=
9
2
+2[
(
3
2
)
2
+
(
3
2
)
3
++
(
3
2
)
n-1
]-(2n+1)?
(
3
2
)
n+1
=
9
2
+2×
9
4
[1-
(
3
2
)
n-1
]
1-
3
2
-(2n+1)?
(
3
2
)
n+1
=(
9
2
-3n)?
(
3
2
)
n
-
9
2
(11分)
∴
T
n
=(6n-9)?(
3
2
)
n
+9
（12分）