Question

设函数f（x）在区间[0，+）上可导，且满足等式f‘（x）+f（x）-1/（x+1）

设函数f（x）在区间[0，+无穷）上可导，且满足等式f‘（x）+f（x）-1/（x+1） ∫x 0 f（t）dt=0 1.求导数f’（x） 2.证明：当x大于等于0时，成立不等式e^(-x) 小于等于f(x)小于等于 1

Answer 1

1.解：等式f`(x)+f(x)-1/(x+1)∫<0,x>f(t)dt=0化为
(x+1)[f`(x)+f(x)]-∫<0,x>f(t)dt=0，求导得
[f`(x)+f(x)]+(x+1)[f``(x)+f`(x)]-f(x)=0，整理得
(x+1)f``(x)+(x+2)f`(x)=0，分离变量得
df`(x)/f`(x)=-(x+2)/(x+1)，积分得
f`(x)=Ce^(-x)/(x+1)
由f`(x)+f(x)-1/(x+1)∫<0,x>f(t)dt=0，得f`(0)+f(0)=0
即f`(0)=-f(0)=-1，代入f`(x)表达式求得C=-1，故
f`(x)=-e^(-x)/(x+1)
2.证：当x≥0时，f`(x)＜0，f(x)单调递减，故f(x)≤f(0)=1
f(x)=∫<0,x>f`(t)dt+f(0)≥∫<0,x>[-e^(-t)]dt+1=e^(-x)

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示