Question

换元法怎么解

Answer 1

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等
局部换元：又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4
+2
－2≥0，先变形为设2
=t（t>0），
三角换元：应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-X^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sin
α
，sinα∈[-1,1
]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x
^2+y^2
=r
^2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元：如遇到x+y=2S形式时，设x=
S+t，y=
S－t等等。
　　例如清华大学自主招生考试题，已知a，b为非负实数，M=a^4+b^4，a+b=1,求M的最值
　　可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M，M=2×（t^2+3/4)^2-1，由二次函数性质知M（min)=1/8,M(max)=1.