Question

设全集U=R，集合A={x||2x-1|+|x-2|＜3}，B={y|y=x3-...

设全集U=R，集合A={x||2x-1|+|x-2|＜3}，B={y|y=x3-x2，x∈A}，求（∁UA）∩B．

Answer 1

解：当x＜12时，原不等式变形为1-2x+2-x＜3，解得x＞0，
∴0＜x＜12，
当12≤x≤2时，原不等式变形为2x-1+2-x＜3，解得x＜2，
∴12≤x＜2，
当x≥2时，原不等式变形为2x-1+x-2＜3，解得x＜2，
∴x∈∅，
综上，A={x|0＜x＜2}，
由y′=（x3-x2）′=3x2-2x=0，
解得：x=0或x=23，
当x∈（0，23）时，y′＜0；x∈（23，2）时，y′＞0，
∴y=x3-x2，x∈A={x|0＜x＜2}在（0，23）单减，在（23，2）单增．
∴y∈[-427，4），即B={y|-427≤y＜4}，
∴（∁UA）∩B={x|-427≤x≤0或2≤x＜4}．