Question

阅读下列材料：在平面直角坐标系中，若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则...

阅读下列材料： 在平面直角坐标系中，若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2两点间的距离为(x1-x2)2+(y1-y2)2．例如：若 P1（3，4）、P2（0，0），则P1、P2两点间的距离为(3-0)2+(4-0)2=5． 设⊙O是以原点O为圆心，以1为半径的圆，如果点P（x，y）在⊙O上，那么有等式x2+y2=1，即x2+y2=1成立；反过来，如果点P（x，y）的坐标满足等式x2+y2=1，那么点P必在⊙O上，这时，我们就把等式x2+y2=1称为⊙O的方程． 在平面直角坐标系中，若点P0（x0，y0），则P0到直线y=kx+b的距离为|kx0-y0+b|1+k2． 请解答下列问题： （I）写出以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程． （II）求出原点O到直线y=(1-n2)x2n-1+n22n的距离． （III）已知关于x、y的方程组：y=(1-n2)x2n-1+n22n…(1)x2+y2=m…(2)，其中n≠0，m＞0． ①若n取任意值时，方程组都有两组不相同的实数解，求m的取值范围． ②当m=2时，记两组不相同的实数解分别为（x1，y1）、（x2，y2）， 求证：(x1-y1)2+(x2-y2)2是与n无关的常数，并求出这个常数．

Answer 1

解：（I）以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程是：x2+y2=r2；
（II）k=1-n22n，
则求出原点O到直线y=(1-n2)x2n-1+n22n的距离是：|-1+n22n|1+(1-n22n)2=1；
（III）①∵1+n2≥2n，则1+n22n≥2n2n≥1，
即直线y=(1-n2)x2n-1+n22n与y轴的交点的纵坐标一定在（0，1）和（0，-1）之间．
x2+y2=m，表示以原点为圆心，半径是m的圆．
∵方程组都有两组不相同的实数解，
∴m＞1，
∴m＞1；
②证明：∵(x1-y1)2+(x2-y2)2表示：两个交点之间的距离，两交点之间的线段就是圆的直径．
∴(x1-y1)2+(x2-y2)2=2m，则与n的值无关，
∴次常数为2m．