Question

图中的不等式怎么来的？

Answer 1

详细过程是，应用的是基本不等式求解【为表述方便，设θ=φ/2】。sin²θ(cos²θ)³=(1/3)[3sin²θ(cos²θ)³]。
而，应用基本不等式“n个正数的算术平均数≥其几何平均数”。本题中，n=4，即设a、b、c、d为正实数，则有(a+b+c+d)/4≥(abcd)^(1/4)，即abcd≤[(a+b+c+d)/4]^4。
故，令a=3sin²θ，b=c=d=cos²θ，∴3sin²θ(cos²θ)³≤[3sin²θ+cos²θ+cos²θ+cos²θ)/4]^4=(3/4)^4。
供参考。

Answer 2

均值不等式
首先注意到三角函数基本公式：
(sinx)^2+(cos
x)^2=1
则令（sinφ/2）^2=a
原式
=1/3*3a*（1-a）（1-a）（1-a）
≤1/3*（（3a+1-a+1-a+1-a）/4）^4
=1/3*（3/4）^4=27/256
当且仅当：
3a=1-a=1-a=1-a时去等号