Question

前n个自然数的m次幂的和的一般公式

已知n
求s=0^k+1^k+2^k+...+n^k的和的一般性公式
目前我已知对指定n的公式的求和的方法。需用到简单的高中数学知识：包括二项式定理，等差数列求和，等知识。用一条通用共式：n^k-(n-1)^k=...(用二项式定理展开得到，此处就不给出了），将此等式1写到n，相加可得n^k=...(右边是最高次为n^(k-1)的多项式），那么我们可以自然数的前k-1次的和提出，剩下的是k-2次至1次的求和，而这些已经由上一步得出。实例如下：求自然数的平方和：
第一条公式：0^1+1^1+2^1+3^1+...+n^1=1/2*n^2+1/2*n
令等式k^3-（k-1)^3=3k^2-3k+1
将之从一至n写n条：
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
...
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
将这n条相加得：
n^3=3*(0^2+1^2+2^2+...+n^2)-3(0+1+2+3+...+n)+n
将所求记作s2,则s2=n^3+3*n*(n+1)/2-n=n*(n+1)*(2n+1)/6 #即得
根据这种递推方式，可以逐步得到自然数的前n项和的m次幂的公式。
前六条公式，写出来有一些规律：
1 1/2*n^2+1/2*n
2 1/3*n^3+1/2*n^2+2/12*n
3 1/4*n^4+1/2*n^3+3/12*n^2+0*n
4 1/5*n^5+1/2*n^4+4/12*n^3+0*n^2-1/30*n
5 1/6*n^6+1/2*n^5+5/12*n^4+0*n^3-1/12*n^2+0*n
6 1/7*n^7+1/2*n^6+6/12*n^5+0*n^4-1/6*n^3+ 0*n^2+1/42*n

Answer 1

这个问题费马也研究过，下面把他的结果摘抄如下
1638年，费马注意到公式：
∑(k从1到n)k/1!=[n(n+1)]/2!
∑(k从1到n)[k(k+1)]/2!=[n(n+1)(n+2)]/3!
他做了个类比，得到
∑(k从1到n)[k(k+1)(k+2)]/3!=[n(n+1)(n+2)(n+3)]/4!
在证明上式子正确性后，他进一步通过类比得到
∑(k从1到n)[k*(k+1)...(k+p-1)]/p!=[n(n+1)...(n+p)]/(p+1)!
此式可通过数学归纳法证明。由此费马得到了求自然数方幂和的公式，如取p=3则
∑(k从1到n)[k(k+1)(k+2)]/3!=
[∑(k从1到n)k^3+3∑(k从1到n)k^2+2∑(k从1到n)k]/6=
n(n+1)(n+2)(n+3)/4!
而∑(k从1到n)k^2、∑(k从1到n)k我们已知，从而可以求出∑(k从1到n)k^3
如此递推可以解决自然数方幂和问题。

Answer 2

有难度

Answer 3

DG