Question

已知函数y=-x²+2bx+c,当x＞1时，y的值随x的增大而减小，则实数b的取值范围是（）？

A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D. b≤1 本题答案是D，那为什么会选D呢？求详细解析，谢谢。

Answer 1

该抛物线的a=-1，开口向下，在对称轴右侧是y随着x的增大而减少的。
次抛物线的对称轴为x=b，所以b必须在1的左侧但可以和1重合，就能保证在x>1时，y的值随x
的增大而减少。反之，如果b>1，那么在x>1时，抛物线在x从1到b时，y随着x的增大而增大，
在x>b才随着x的增大而减少。

Answer 2

因为函数y=-x²+2bx+c是一个开口向下的抛物线，该函数的对称轴为x=b，所以该函数在[b，＋∞)上是单调递减的函数，即y的值随着x的增大而减小。
又因为当x>1时，该函数y的函数值随x增大而减小，所以x>1一定是[b，+∞)上的子区间，所以此时只需要1在区间[b，+∞)内即可，所以b≤1。
希望对你有所帮助！

Answer 3

首先x²的系数是-1，这个抛物线的开口是向下的，所以顶点右半边是递减，又有y=-x²+2bx+c=-（x-b）²+b²-c，顶点坐标（b，b²-c），所以b≤1的时候满足x＞1时为递减函数

Answer 4

图像来隼

Answer 5

下面【】中的内容为解释或提示，实际解答中不写出来

解答：函数y=-x²+2bx+c 的图像开口向下【因为二次项系数a=-1<0】，对称轴x=b【由x=-b/(2a)=-2b/[2×(-1)]=b得出。同时，根据二次函数图像开口向下，在其对称轴x=b时函数最得最大值，函数取值y在对称轴左边越来越小，右边越来越大】

当x>1时，y的值随x的增大而减小，知函数对称轴在包括x=1及其左边，知 x=b≤1 即 b≤1 选  D

加粗字段即为范围解答过程