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(7)
let
1/y = 1/(2x+1)
lim(x->∞) [ 2x/(2x+1)]^(x-1)
=lim(x->∞) [ 1- 1/(2x+1)]^(x-1)
=lim(y->∞) [ 1- 1/y]^[(y-1)/2 -1]
=lim(y->∞) [ 1- 1/y]^(y/2)
=e^(-1/2)
(3.1)
n/√(n^2+n)<1/√(n^2+1) +1/√(n^2+2) +...+1/√(n^2+n)< n/√(n^2+1)
lim(n->∞) n/√(n^2+n) = lim(n->∞) n/√(n^2+1) =1
=>
lim(n->∞) [1/√(n^2+1) +1/√(n^2+2) +...+1/√(n^2+n)] =1
let
1/y = 1/(2x+1)
lim(x->∞) [ 2x/(2x+1)]^(x-1)
=lim(x->∞) [ 1- 1/(2x+1)]^(x-1)
=lim(y->∞) [ 1- 1/y]^[(y-1)/2 -1]
=lim(y->∞) [ 1- 1/y]^(y/2)
=e^(-1/2)
(3.1)
n/√(n^2+n)<1/√(n^2+1) +1/√(n^2+2) +...+1/√(n^2+n)< n/√(n^2+1)
lim(n->∞) n/√(n^2+n) = lim(n->∞) n/√(n^2+1) =1
=>
lim(n->∞) [1/√(n^2+1) +1/√(n^2+2) +...+1/√(n^2+n)] =1
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