Question

数列极限证明题 帮忙看看吧～谢谢

Answer 1

根据已知条件可知：
对于任意的ε>0，存在N>0，当n>N时必定有|x(n)/n|<ε
max(a(1),a(2),...,a(n))的取值有两种情况：

(1) a(n)数列不是单调递增的，那么max(a(1),a(2),...,a(n))=a(k)，其中k是个定值
对于任意的ε>0，|max(a(1),a(2),...,a(n))/n|=|a(k)/n|<ε，n>|a(k)|/ε
即对于任意的ε>0，存在N=[|a(k)|/ε]+1，当n>N时必定有|max(a(1),a(2),...,a(n))/n|=|a(k)/n|<|a(k)/N|<|a(k)|/(|a(k)|/ε)=ε，此时命题成立
(2) a(n)数列是单调递增的，那么max(a(1),a(2),...,a(n))=a(n)，此时命题与已知条件一致，命题成立。
综上，命题成立

追问

请问如果Xn是递减呢，要如何书写呢

追答

那属于第一种情况，且k=1（即a(1)最大）

追问

噢我搞明白了 还有一个问题：我可不可以不讨论单调性 直接把max（x1 x2...xn）=x（k） 然后求出n的范围 就像您讨论不单挑情况一样 这样证明吗

是因为如果单调 an的n无法确定 就不能像ak一样当成一个常数对吗

追答

你的意思是把这两种情况合并在一起，用情况一的思路进行证明？
我认为这样证明是有问题的。情况一的证明中，请注意我特意强调了k是个定值，那么a(k)必定也是个定值。这样强调的目的是确认数列有最大值，且最大值得取值与下标n的取值无关。但并不一定所有的数列都有最大值的，例如单调递增的。因此才会出现情况二的讨论
不好意思，我的回答不够精确。@774105742的解答比我的精确。情况一二的区分标准不应是单调递增，而是最大值的下标。单调递增仅仅是个特例

追问

噢噢 还是谢谢你啦

Answer 2

假设函数f(n)=max{X1,X2……Xn}，设结果为f(n)=Xi,(1<=i<=n)

设函数g(n)为最大值的下标，即g(n)=i

则原式为lim_(n→∞) (f(n)/g(n))*(g(n)/n)

1. 若 lim_(n→∞) g(n)=a ，a为一个常数

则有lim_(n→∞) f(n)/g(n)=Xa/a 为一个常数

lim_(n→∞) g(n)/n=lim_(n→∞) a/n=0

常数乘无穷小为无穷小，原式=0

2.

若 lim_(n→∞) g(n)=∞ ,即i→∞

则有lim_(n→∞) f(n)/g(n)=lim_(i→∞)Xi/i=0  (这是由题意得的)

lim_(n→∞) g(n)/n=lim_(n→∞) i/n

由于1<=i<=n，则0<i/n<=1所以0<lim_(n→∞) i/n<=1，此极限有界

有界乘无穷小为无穷小，原式=0

Answer 3

翻开课本，参照例题，依照极限定义去证明

Answer 4

如上