Question

求次函数的单调性 凹凸性

Answer 1

单调性是求一阶导，大于0增，小于0减，凹凸性是求二阶导，大于0凹，小于0凸。

Answer 2

f(x) = [(2-x)^2(x-1)]^(1/3) = (x-2)^(2/3)·(x-1)^(1/3),
定义域 ： x ≠ 1 且 x ≠ 2，即 x∈ (-∞, 1)∪(1, 2)∪(2, +∞).
f' = (2/3)(x-2)^(-1/3)·(x-1)^(1/3) + (1/3)(x-2)^(2/3)·(x-1)^(-2/3)
= [2(x-1)+(x-2)]/[3(x-2)^(1/3)(x-1)^(2/3)]
= (3x-4)/[3(x-2)^(1/3)(x-1)^(2/3)]， 得驻点 x = 4/3.
单调增加区间 x∈ (-∞, 1)∪(1, 4/3)∪(2, +∞)
单调减少区间 x∈ (4/3，2)。
f''= (-2/9)(x-2)^(-4/3)·(x-1)^(1/3) + (2/9)(x-2)^(-1/3)·(x-1)^(-2/3)
+ (2/9)(x-2)^(-1/3)·(x-1)^(-2/3) + (-2/9)(x-2)^(2/3)·(x-1)^(-5/3)
= [-2(x-1)^2+4(x-2)(x-1)-2(x-2)^2]/[9(x-2)^(4/3)(x-1)^(5/3)]
= -1/[9(x-2)^(4/3)(x-1)^(5/3)],
凹区间 x∈ (-∞, 1），凸区间 x∈ (1, 2)∪(2, +∞)。