Question

如何证明 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所对的弧一定相等

Answer 1

　圆周角推论1:
半圆(弧)和直径所对圆周角是90°.　　90°圆周角所对弦是直径.　　(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90°圆周角,作其所对弦,即直径.)　　圆周角推论2:
同(等)弧所对圆周角相等.　　同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.　　命题1:
在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C　　(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和.)　　命题2:
顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.　　顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.　　证明： 命题2的证明[1] 如图，过C作CE//AB，交圆于E，　　则有∠P＝∠DCE，弧AC＝弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)　　而∠DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE＝弧BD－弧BE＝弧BD－弧AC　　所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半　　即“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半”
另外也可以连接BC，则∠P＝∠BCD－∠B　　∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半　　∠B的度数等于弧AC的度数的一半　　同样得“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半”　　圆内角的证明完全类似：　　过C作CE//AB，交圆于E，　　则有∠APC＝∠C，弧AC＝弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)　　而∠C的度数等于弧DE的一半，弧DE＝弧BD＋弧BE＝弧BD＋弧AC　　所以∠APC的度数等于“弧BD＋弧AC”的一半　　即“顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数和的一半”　　另外也可以连接BC进行证明　　例题　　　已知：如图，AB是⊙O的直径，AC、AD为
弦，且AD平分∠BAC，若AB=10，AC=
6，　　求AD的长.　　解：连结BD并延长交AC的延长线于点E，连结BC　　∵AB是⊙O的直径　　∴∠ACB=∠ADB=90°　　∴BC⊥AE，AD⊥BE　　又∵AD平分∠BAC　　∴AE=AB，DE=BD　　∵AB=
10，AC=
6　　∴CE= AE-AC=
4
，　　在Rt△ABC中
BC=8　　在Rt△BCE中，BE=4√5　　∴BD=2√5　　在Rt△ABD中，　　∴AD=
4√5