Question

ao+a1/2+…+an/n+1=0,证明f(x)=ao+a1x+…+anx^n在(01)内至少有一个零点

设ao+a1/2+…+an/n+1=0,证明f(x)=ao+a1x+…+anx^n在(01)内至少有一个零点

Answer 1

逐项积分得f(x)的一个原函数为
F(x)=aox+a1x^2/2+a2x^3/3+...anx^(n+1)/(n+1)
F(0)=0
F(1)=a0+a1/2+...an/(n+1)=0
由拉格朗日中值定理得(0,1)内存在一个p使得
F'(p)=F(1)-F(0)/(1-0)=0
即f(p)=0
所以f(x)在(0,1)内至少有一个零点
还可以直接用罗尔定理,一样..
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