Question

求解这道高数问题，二重积分，变量代换

Answer 1

分享解法如下。(1)设u=x+y，v=x-y。∴x=(u+v)/2，y=(u-v)/2。∴∂x/∂u=1/2，∂x/∂v=1/2，∂y/∂u=1/2，∂y/∂v=-1/2。故，雅可比行列式J(u,v)=-1/2。
又，y≥0，∴u≥v。由x≤√(1-y²)有x²+y²≤1，∴u²+v²≤2。v≤u≤√(2-v²)。由v=x-y，可得0≤v≤1。∴原式=(1/2)∫(0,1)dv∫(v,√(2-v²))uve^u²du=…=(e-1)²/8。
(2)设u=x²+y²，v=xy。∴u+2v=(x+y)²，u-2v=(x-y)²。∴x=(1/2)[√(u+2v)+√(u-2v)]，y=(1/2)[√(u+2v)-√(u-2v)]。分别求出∂x/∂u、∂x/∂v、∂y/∂u、∂y/∂v的导函数。故，雅可比行列式J(u,v)=(1/2)/√(u²-4v²)。
又，u=x²+y²≥2xy=2v，∴2v≤u≤1。同理，v=xy≤(x²+y²)/2，∴0≤v≤1/2。而，x²-y²=√(u²-4v²)。
∴原式=(1/2)∫(0,1/2)dv∫(2v,1)e^(u+2v)du=…=(e-1)²/8。
供参考。