Question

微分方程的稳定性

Answer 1

微分方程稳定性理论1.一阶方程的平衡点及稳定性自治方程：方程右端不显含自变量。例平衡点：方程右端函数 的实根 ，或称为奇点，它也是自治方程的解。若存在某邻域，使得自治方程的解x（t）从这个邻域内的某x(0)出发满足则称平衡点 是稳定的；否则称为不稳定的。稳定点的判断方法：直接法和间接法。间接法：定义例7 本章第2节中的Logistic模型 定义1 自治系统 的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标 的空间Rn。图3-17 共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。 当No<K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。 特别，当n=2时，称相空间为相平面。空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。 直接法：考虑近似线性方程则 也是上述方程的平衡点。且关于稳定性有如下结论：若, 则 对于方程（1）和（4）都是稳定的。若, 则 对于方程（1）和（4）都是不稳定的。Note:方程（4）的解为2.二阶方程的平衡点和稳定性考虑方程组的解： 为自治方程（6）的平衡点，记作： 。稳定性定义同一阶方程。下先用直接法讨论线性方程组：记系数矩阵为方程（9）的惟一平衡点为,假定A的行列式不为零，则的稳定性由（9）的特征方程的特征根λ决定，进一步可将特征方程写为： 将特征根记为 则于是方程（9）的解为结论：1.不可能为零。 2.当 为负数或有负实部时 稳定。 3.当 有一个为正数或有正实部时 不稳定。由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性 p,q 平衡点类型稳定性1&