Question

矩阵的特征值的性质

Answer 1

仅证A即可.
A是Hermite
矩阵,则A^H=A,A^H是A的共轭转置,
设a是A的任意特征值,x是相应特征向量,则
Ax=ax,两边取共轭转置得
x^HA^H=a*x^H,
其中a*是a的共轭复数,两边分别右乘x得
x^HAx=a*x^Hx,由Ax=ax得
ax^Hx=a*x^Hx
由x不为零,x^Hx不为零(>0),故a=a*,一个复数等于它的共轭复数,它必是实数,故a为实数.
矩阵特征值
：定义
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式
Ax=λx
(1)
成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.(1)式也可写成，
(
A-λE)X=0
(2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
|
A-λE|=0
,
(3)
设
A
是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量
x，使得
Ax=mx
成立，则称
m
是A的一个特征值(characteristic
value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。求矩阵特征值的方法：
Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。
|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A|
是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。如果n阶矩阵A的全部特征值为m1
m2
...
mn，则|A|=m1*m2*...*mn
同时矩阵A的迹是特征值之和:tr(A)=m1+m2+m3+…+mn[1]
如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0,
则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。还可用mathematica求。