Question

已知a1，a2，…，an是正整数，且a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=...

已知a1，a2，…，an是正整数，且a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，a12+a22+…+an2=24，则（a1，a2，…，an）=_____．

Answer 1

解：∵52＞24，
∴an≤4，
又∵an是正整数，
∴1≤an≤4，
①当an=1时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a1=a2=…=an=1（n=10），
∴a12+a22+…+a102=10，
又∵a12+a22+…+an2=24，
∴此解不成立；
②当an=2时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a
n-1=1或a
n-1=2，
当a
n-1=1时，a
n-2必等于1，以此类推，
∴a1=a2=a3=a4=a5=a6=a7=a8=1（n=9），
∴a12+a22+…+a92=12，
又∵a12+a22+…+an2=24，
∴an-1=1不成立；
当a
n-1=2时，a
n-2可等于1，也可等于2，
那么就有a1=a2=a3=a4=a5=a6=1（n=8），
∴a12+a22+…+a82=14≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=a4=1，a5=a6=a7=2（n=7），
∵a12+a22+…+a72=16≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=1，a3=a4=a5=a6=2（n=6），
∵a12+a22+…+a62=18≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=a4=a5=2（n=5），
∵a12+a22+…+a52=20≠24，
∴此解不成立；
∴当an=2时，没有符合题意的解；
③当an=3时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a
n-1=1或a
n-1=2或a
n-1=3，
当a
n-1=1时，a
n-2必等于1，
那么a1=a2=…=a7=1，a8=3（n=8），
∵a12+a22+…+a82=16≠24，
∴此解不成立；
当a
n-1=2时，a
n-2可以等于2，也可以等于1，
当a1=a2=…=a5=1，a6=2，a7=3（n=7），
∵a12+a22+…+a72=18≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=1，a4=a5=2，a6=3（n=6），
∵a12+a22+…+a62=20≠24，
∴此解不成立；
或a1=1，a2=a3=a4=2，a5=3（n=5），
∵a12+a22+…+a52=22≠24，
当a
n-1=3时，a
n-2可以等于3，也可以等于2，还可以等于1，
当a
n-2=3时，则a1=1，a2=a3=a4=3（n=4），
∵a12+a22+…+a42=28≠24，
∴此解不成立；
或a
n-2=2时，则a1=a2=1，a3=2，a4=a5=3（n=5），
∵a12+a22+…+a52=24，
∴此解成立；
或a1=a2=2，a3=a4=3（n=4），
∵a12+a22+…+a42=26≠24，
∴此解不成立；
④当an=4时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a
n-1=1或a
n-1=2或a
n-1=3或a
n-1=4，
当a
n-1=1，必有a1=a2=…=a6=1，a7=4（n=7），
∵a12+a22+…+a72=22≠24，
∴此解不成立；
当a
n-1=2，有a1=a2=a3=a4=1，a5=2，a6=4（n=6），
∵a12+a22+…+a62=24，
∴此解成立；
或a1=a2=1，a3=a4=2，a5=4（n=5），
∵a12+a22+…+a52=26≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=2，a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=28≠24，
∴此解不成立；
当a
n-1=3时，有a1=a2=a3=1，a4=3，a5=4（n=5），
∵a12+a22+…+a52=28≠24，
∴此解不成立；
或a1=1，a2=2，a3=3，a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=30≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=3，a3=4（n=3），
∵a12+a22+…+a32=34≠24，
∴此解不成立；
当a
n-1=4，只有a1=a2=1，a3=a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=34≠24，
∴此解不成立；
∴综上所述，符合条件的解有两组：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．
故答案是：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．