Question

已知函数 f(x)= 2 x -1，(x≤0) f(x-1)+1，(x＞0) ，把函数g(x)=f(x

已知函数 f(x)= 2 x -1，(x≤0) f(x-1)+1，(x＞0) ，把函数g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n ，则S 10 =（　　） A． 2 10 -1 B．2 9 -1 C．45 D．55

Answer 1

当0＜x≤1时，有-1＜x-1＜0，则f（x）=f（x-1）+1=2
x-1
，
当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2
x-2
+1，
当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2
x-3
+2，
当3＜x≤4时，有2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=2
x-4
+3，
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-1）+1=2
x-n-1
+n，
所以，函数f（x）=2
x
的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2
x
为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后：
①将函数f（x）=2
x
和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2
x
-1和y=x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2
x-1
和y=x图象-1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2
x-1
和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2
x-1
和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2
x-2
+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…
（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．
综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：
0，1，2，3，4，…，
其通项公式为：a
n
=n-1，前n项的和为
S
n
=
(n-1)?n
2
，
∴S
10
=45，
故选C．