Question

求一道不定积分基本公式的证明题谢谢啦

向左转|向右转

Answer 1

∫cscx
dx
=∫1/sinx
dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]
dx,两倍角公式
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)]
d(x/2)
=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2)
d(x/2)
=∫1/tan(x/2)
d[tan(x/2)],注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C
=ln|tan(x/2)|+C,这是答案一
进一步化简:
=ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+C
=ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]|+C,凑出两倍角公式
=ln|sinx/(1+cosx)|+C
=ln|sinx(1-cosx)/sin²x|+C
=ln|(1-cosx)/sinx|+C
=ln|cscx-cotx|+C,这是答案二